Construction de l'attracteur

Le nombre 3/7 est censé être périodique de période 2 (pour a=3.5). Quand on entre sa valeur numérique dans l'applet, c'est bien ce qui semble se produire, mais au bout d'un certain nombre d'itérations, la valeur dévie légèrement. Puis au bout d'une centaine d'itérations, la suite s'éloigne du cycle (3/7,6/7) pour être capturé par l'attracteur vers la 150è itération.

Cela est dû aux erreurs d'arrondis. D'une part, on n'a pas entré exactement la valeur du point périodique, et d'autre part l'ordinateur n'effectue pas des calculs exacts.

Vous avez pu constater que les points 0, 5/7, et le cycle (3/7, 6/7) sont répulsifs : les points proches ont tendance à s'éloigner, les erreurs d'arrondi sont démultipliées à chaque itération.

Ces points échappant (mathématiquement) à l'attracteur pour a=3.5 engendrent une infinité d'autres exceptions. En effet, le point 1/7 par exemple, possède 2 images réciproques : cela signifie qu'il existe deux nombres qui s'envoient dessus. Le plus petit possède lui-même 2 images réciproques. La plus petite en possède deux… et ainsi de suite. La même chose se passe pour 2/7. Le nombre 4/7 engendre un "arbre" d'images réciproque un peu plus complexe.

Dans la figure suivante, nous avons dessiné un trait noir à chaque exception pour a=3.5, et 4 traits magentas pour représenter l'attracteur. Nous avons également laissé les valeurs 0/7, 1/7, etc. Ne vous fiez pas à son aspect : la probabilité de tomber sur une exception est quasiment nulle. Mathématiquement, cette probabilité est d'ailleurs égale à 0 (note : une probabilité nulle ne signifie pas impossible ; simplement cet évenement n'est pas fréquent).

Construction de l'attracteur

On prend un point au hasard, et on l'itère beaucoup. S'il y a un attracteur, le point s'en approche d'autant plus que l'on itère. Puis on part du point obtenu et on trace un grand nombre de ses itérées. On obtient alors une bonne approximation de l'attracteur.

Bien-sûr cette méthode est complètement expérimentale. Il se pose des questions:

• Y a-t-il un attracteur ?
• Sommes-nous partis d'une exception ?
• Les images d'un point de l'attracteur visitent-ils en un certain sens tout l'attracteur (ce que l'on appelle la transitivité) ? Est-ce que plusieurs attracteurs ne pourraient pas coexister ?

Il a été prouvé qu'il y a toujours un attracteur, que pour chacun un point tiré au hasard a une probabilité de 100% d'être attiré (cela ne veut pas dire que tous les points sont attirés), et que l'attracteur est toujours transitif (donc il n'y a pas coexistence de deux attracteurs).

L'applet suivant applique la méthode expérimentale avec point de départ x=0.5. Elle échoue dans le cas a=4 (et d'autres cas, mais qui sont difficiles à attraper avec l'applet).

On constate qu'outre les cycles attractifs, on trouve également des intervalles et des unions finies d'intervalles. Par exemple, l'attracteur de a=4 est tout l'intervalle [0,1]. Il y a également une troisième catégorie d'ensembles, plus exotiques : nous verrons cela en détail plus loin.