Soit k un entier strictement positif et Sigma une p-matrice réelle
symétrique semi-définie positive. Soit M une p-matrice
aléatoire réelle symétrique. Moyennant quelque
condition, on sait que M obéit à la loi de Wishart
W(k,Sigma) si et seulement si, pour toute p-base Sigma-orthogonale
(a1,...,ap), les variables aléatoires (v.a.) a1*Ma1,...,ap*Map sont
indépendantes. On se propose d'affaiblir cette caractérisation
en montrant que si, pour toute (k+1)-famille Sigma-orthogonale
(a1,...,a(k+1)), les v.a. a1*Ma1,...,a(k+1)*Ma(k+1) sont indépendantes,
alors loi(M)=W(k,Sigma).
Soient H un espace de Hilbert de dimension finie et Z une variable
aléatoire (v.a.) gaussienne centrée à valeurs dans H.
Considérons de même Z(1),...,Z(n) un échantillon
de v.a. indépendantes identiquement distribuées de même
loi que Z. Alors \sum(j=1,...,n) Z(j)\otimes Z(j) suit une loi de Wishart
à n degrés de liberté. L'objet de cette note est de
proposer une caractérisation des v.a. (pouvant être
appelées opérateurs aléatoires) de loi de Wishart
dans le cas où H est de dimension quelconque, finie ou pas,
réel ou complexe, le cas réel n'étant pas un cas
particulier simple du cas complexe.
Nous nous proposons de résumer une série stationnaire
p-dimensionnelle par une série q-dimensionnelle par une A.C.P.
dans le domaine des fréquences. Cette A.C.P. formelle n'étant
pas réalisable d'un point de vue pratique, nous l'approchons
après avoir discrétisé le spectre de la série.
Nous montrons que cette approximation a de bonnes propriétés de
convergence. Enfin, dans une application à un exemple issu de la
météorologie, nous examinons la mise en oeuvre et
l'exploitation de cette méthode.
A generalized canonical analysis is considered in order to build a test
statistic for the comparison of factor subspaces of k related populations.
This test constitutes a generalization of a test of comparison of two
factor subspaces (Dauxois, Romain and Viguier). A first stage of the
generalization is made in the case of two populations, with the infinite
dimension, and without the hypothesis of sphericity. A numerical example is
given to compare the test statistics for k=2, and another example illustrates
the k-sample case.