La renormalisation

Nous avons vu que dans la famille des fonctions f(x) = a·x·(1−x), il arrive pour certaines valeurs de a que le graphe de f² contiennent une portion ressemblant au graphe d'une autre fonction g de cette même famille. Il nous faudra préciser cette notion de ressemblance, mais on peut dores et déjà soupçonner que la dynamique de f contiendra d'une certaine façon celle de g.
L'applet suivant permet de voir l'allure du graphe de f², et indique quand on peut y trouver un sous graphe ressemblant à une fonction de la famille. Notez que la présence de la diagonale est importante, et que le carré dans lequel le sous graphe est dessiné doit s'appuyer sur elle. Nous verrons plus loin pourquoi.

La notion de ressemblance en jeu est la notion dite de conjugaison. Si deux fonctions sont conjuguées, alors elles ont la même dynamique. Cliquez sur le lien suivant si vous voulez en savoir plus sur la conjugaison.

Une fonction g est dite renormalisable à l'ordre n>0 si on peut trouver un intervalle I que gⁿ envoie sur lui-même, en envoyant les deux extrémités sur l'une d'entre elles. Si on fait un changement de variable affine (c'est à dire on prend une nouvelle variable u = a·x+b, autrement dit on fait un zoom, éventuellement un renversement, et une translation) qui envoie I sur l'intervalle [0,1], alors le graphe de gⁿ : I → I devient le graphe d'une fonction h : [0,1] → [0,1] : la renormalisée.

Dans l'applet suivant, on illustre la renormalisabilité de f³, en fonction de a.