Conjugantes

Revenons à la famille de fonctions f(x) = a·x·(1−x). Pour des raisons que nous cachons, nous ne considérerons comme valide que les renormalisations pour lesquelles la renormalisée soit possède deux points fixes, soit un seul point fixe à qui on demande d'être parabolique (cette renormalisée étant conjuguée à une certaine fonction x ↦ b·x·(1−x), cela équivaut à demander que b>1 ou b=1).

Quand une fonction de la famille a·x·(1−x) est renormalisable (plus précisément fⁿ pour une certaine valeur de a et une certaine valeur de n) alors il peut y avoir plusieurs intervalles de renormalisation. Cependant l'un d'entre eux doit contenir la valeur x=0.5, et les autres intervalles forment un cycle périodique : ils s'envoient les uns dans les autres en formant une chaîne qui les visite tous. La valeur x = 0.5 est appelé le point critique, car c'est le point où f est maximale, c'est aussi le point où la dérivée de f s'annule. Notons que tout ceci est spécifique à la famille x ↦ a·x·(1−x).

Théorème : Quand f = a·x·(1−x) est renormalisable, la renormalisée est conjuguée à une fonction de la même famille (g = b·x·(1−x)).

Note : attention, c'est loin d'être facile à démontrer. En général, la conjugaison est une fonction, certes croissante et continue, mais cependant pas lisse (non dérivable) et irrégulière. L'image suivante donne un exemple : le graphe de la conjugaison entre x ↦ 4·x·(1−x) et la renormalisée de f² où f : x ↦ a·x·(1−x) et a = 3.6785735… (dont vous trouverez l'allûre avec le premier applet de la page précédente, ou bien à la page conjugaison) : l'ensemble des points où il y a une tangente horizontale est dense…

Dans l'image suivante montre la différence entre cette courbe et le segment de mêmes extrémités. Plus précisément, c'est le graphe de c(x)−x où c est la conjugaison. Notez que l'échelle verticale est exagérée. Cela met nettement mieux en évidence l'irrégularité de la fonction c.

Unicité

Dans le théorème précédent, on voudrait dire "à a j'associe b". Mais cela a-t-il un sens ? Il faut d'abord être sûr d'associer une seule renormalisée à une fonction renormalisable. Nous admettrons que c'est possible, en choissant la plus petite période, et le plus petit intervalle de renormalisation possible contenant le nombre 0.5. Ensuite, une fois que l'on a une renormalisée, on peut se demander si il y a une seule valeur de b qui convienne, car sinon lequel choisir ?

La réponse est non. Plus précisément, c'est non dans le cas où il y a un cycle attractif, et oui dans les autres. Cependant nous admettrons qu'il y a un moyen naturel de choisir la bonne valeur de b (voir ce lien si vous êtes curieux).

Dans l'image suivante, on montre le graphe de l'application a ↦ b associée à la renomalisation. La courbe est lisse à certains endroits mais pas à d'autres. On a indiqué en vert la diagonale principale (graphe de l'application x ↦ x).

Comme cette courbe est très proche d'une droite, nous avons fait un graphe montrant la différence entre cette courbe et le segment de mêmes extrémités. Notez que l'échelle horizontale a changé et que l'échelle verticale est exagérée.

Quelles sont les conséquences pour la dynamique et pour l'arbre de Feigenbaum ?