Rapports de stage

  • Stabilité asymptotique pour l'équation FKPP étendue
    • Stage réalisé à Toulouse avec Grégory Faye en M2.
    Pendant ce stage, j'ai étudié deux articles portant sur la stabilité asymptotique du front critique dans un espace à poids, pour une équation de réaction-diffusion. Le premier article donne la décroissance algébrique d'une perturbation pour l'équation FKPP. Pour cela, il suit une approche dynamique en majorant ponctuellement le noyau de la dynamique linéaire. Le second article aborde l'équation FKPP étendue, où le terme de diffusion est perturbé par l'ajout d'un opérateur d'ordre 4. Il utilise des arguments perturbatifs pour mettre en évidence un front critique, puis montre sa stabilité asymptotique via la décroissance de plusieurs énergies. Après m'être approprié ces résultats, j'ai commencé à appliquer les méthodes du premier article à l'équation FKPPe traitée dans le second article. L'objectif étant d'obtenir une convergence algébrique des perturbations.
  • Stabilité non linéaire d'un système de réaction-diffusion
    • Séminaire réalisé à Rennes avec Luis Miguel Rodrigues en M2.
    Durant ce séminaire j'ai étudié un article de recherche portant sur un résultat de stabilité asymptotique. Étant donné un équilibre d'un système d'équation type réaction-diffusion, on cherche à montrer qu'une perturbation décroit algébriquement vers 0. L'équation considérée fait interagir la perturbation et le profil initial, il faut donc introduire un déphasage pour mesurer la décroissance de la perturbation. Les majoration de la perturbation sont obtenues par transformée de Bloch, sous réserve de certaines hypothèses spectrales.
  • Burger's equation and conservation laws
    • Stage réalisé à Séville, Espagne avec Manuel Gonzáles Burgos en M1.
    Ce stage a été un tour d'horizon des EDP. J'ai tout d'abord repris les bases en étudiant les équations classiques d'ordre 1 et leurs propriétés : équation de la chaleur, de transport, des ondes. Puis la méthode des caractéristiques a fourni un débouché intéressant vers les équations non linéaires comme l'équation de Burger, et plus généralement les équations de conservation. Dans un second temps, je me suis intéressé à la résolution numérique de l'équation de Burger en dimension 1 et 2. Le schéma sous forme conservative est plus robuste face aux erreurs numériques. On présente également le théorème de convergence de Lax-Wendroff.
  • Homotopie et revêtements galoisiens
    • Stage réalisé à Leuven, Belgique avec Johannes Huissman en L3.
    Dans un premier temps, je me suis intéressé à travers le livre de Hatcher à différentes notions topologiques : homotopie, groupe fondamental, théorème de Van Kampen. La motivation première étant de distinguer deux espaces topologiques non isomorphes. L'introduction des revêtements (notament pour le calcul du groupe fondamental de la sphère) nous a conduit au livre de Szamuely qui en présente la théorie. On obtient des résultats équivalents à la théorie de Galois : à chaque sous-revêtement galoisien du revêtement universel est associé un unique sous groupe normal du groupe fondamental. Dans le rapport, j'introduis les outils pour formaliser ceci via le langage des catégories, et en donne des preuves partielles.