Post-Doctorant
Mathématiques Appliquées
GénéralitésD'un point de vue général, mes activités portent sur la mise en oeuvre de méthodes numériques pour des problèmes d'écoulement à surface libre. Sont principalement visées des applications à l'océanographie côtière et grande échelle, en passant par l'hydraulique avec notamment des simulations d'écoulement en rivière. Dans ces contextes, si les équations d'Euler (ou Water Waves ) fournissent une bonne description de la réalité, leur étude mathématique et numérique reste à ce jour extrêmement complexe. D'un point de vue numérique, les approches directes basées sur ces modèles 3d sont encore très coûteuses, et ce malgré les progrés constants en termes de calcul parallèle. Ce problème de temps de calcul est d'autant plus présent que les plateformes de simulation prévisionnelles modernes tendent à être orientées vers de la résolution temps réel. Sur ce constat, plusieurs modèles ont été dérivés depuis ces dernières décennies dans le but de réduire la complexité des équations primitives, en intégrant la dimension verticale afin de se ramener à un problème à deux dimensions.  Sous des hypothèses de faible profondeur (c'est à dire lorsque μ = λ / h0 << 1) nous obtenons un modèle simple, communément appelé Shallow Water . Ce dernier peut ainsi s'interpréter comme un développement asymptotique d'ordre 1 des équations d'Euler. Il présente une structure mathématique bien plus agréable, avec de nombreuses possibilités de mises en oeuvre numériquement efficaces. A ce titre, il est très communément employé dans des contextes de faible profondeur relative (rivières, tsunamis, hydrodynamique côtière ...) En révoquant ces hypothèses, c'est à dire en gardant les termes d'ordre μ dans le développement, nous obtenons une classe plus précise de modèles, classiquement dénommés modèles dispersifs (Boussinesq, Serre Green-Nagdhi, ...). S'ils sont naturellement plus difficiles à étudier et intégrer numériquement, ces modèles sont d'un intérêt majeur en océanographie côtière par exemple, où les fortes non linéarités induites par les déformations du fond marin peuvent avoir un impact considérable sur la vitesse et l'amplitude des vagues. Depuis mes activités de Docotrat, je m'attèle à analyser et développer des méthodes numériques dédiées à ce type de modèles. Travaux de thèseMes travaux de thèse ont débuté le 1er Septembre 2011 au sein de l'Institut de Mathématiques et Modélisation de Montpellier (I3M), aujourd'hui nommé Institut Montpellierain Alexander Grothendieck (IMAG), sous la direction de Fabien MARCHE. Ma thèse s'intitule : et a été soutenue le 17 octobre 2014. Les principaux aspects de mes travaux de doctorat sont liés au développement et l'analyse de méthodes numériques pour la simulation d'écoulements à surface libre. Au cours de ma thèse, je me suis essentiellement intéressé aux équations type Shallow Water et Green - Naghdi (équations dispersives fortement non-linéaires). L'étude de méthodes Volumes Finis (FV) et Galerkin Discontinu (dG) a été privilégiée, dans des contextes 1d et 2d sur maillages non structurés. Cette thématique à l’interface avec d'autres disciplines telles que l’informatique et la mécanique des fluides constituait un virage assez sérieux par rapport à mon profil universitaire, à coloration plus théorique. Les difficultés inhérentes à la construction de tels schémas numériques sont multiples, et de nature très diverses. Les équations Shallow Water étant un système de loi de conservation hyperbolique non linéaire, l'un des principaux enjeux repose sur la mise en place de certains critères de stabilité non linéaire :
L'objectif majeur réside dans la construction de schémas capables de satisfaire au mieux ces critères. A l'issue de mes travaux, quatre codes de calcul FORTRAN ont été développés :
Travaux de post-doctoratL’objectif des mes travaux de post-doctorat est de contribuer au développement de schémas numériques dédiés au système Shallow Water multicouches. La majorité des applications en océanographie correspond à des régimes à faible nombre de Froude, c’est à dire où la célérité des ondes gravitaires est nettement dominante par rapport à la vitesse d'advection propre de l'écoulement. Dans ce contexte les schémas nécessitent une discrétisation particulière des termes de flux et de pression afin de garantir, entre autres, certains critères de stabilité fondamentaux, ou encore la consistance avec les régimes limites atteints dans cette asymptotique. Récemment, un schéma semi-implicite a été proposé pour répondre à cette problématique (Parisot - Vila [C.R. Ac. Sci., 352(1):953-957, 2014]). La stratégie proposée permet d’assurer la dissipation de l’énergie, et donc la stabilité du schéma, tout en présentant en bon comportement asymptotique. A terme, l’un des principaux objectifs est d’intégrer cette technologie à la plateforme de prévision opérationnelle du (SHOM), dénommée HYCOM (HYbrid Coordinate Ocean Model). Actuellement cette marche s’articule autour de deux points centraux :
Dans cette perspective, le premier objectif est de proposer une version explicite du schéma numérique bas-Froude précédemment
mentionné. Cette version se destine en particulier à la validation de l’algorithme développé au début du post-doctorat pour
la gestion des conditions aux limites, sur la base des travaux menés par R. Monjarret
(The multi-layer shallow water model with free surface Numerical treatment of the open boundaries, phd - 2014).
Enfin, sur un plan technique, la seconde étape consiste à étendre l’analyse
aux mailles décalées, qui sont les types de discrétisations utilisées dans HYCOM.
|
